Высшая алгебра. Задачи с решениями для коллоквиумов и экзаменов 2 семестр

Учебно - методическое пособие. СПб.: математический факультет, 2007 г.Настоящее учебно-методическое пособие является прямым продолжением пособия [3]. Здесь собраны простейшие задания, предлагаемые студентам базового потока первого курса физического факультета СПбГУ на коллоквиуме и экзамене второго семестра по курсу
"Высшая алгебра". Пособие предназначено для студентов первого курса.Пособие разбито на две части, соответствующие программам весеннего коллоквиума и экзамена летней сессии. В начале каждой части помещена программа соответствующего ей коллоквиума или экзамена. В каждой части задания объединены по темам. В конце каждой темы приведены задачи для самостоятельного решения. В данное пособие включены только простейшие задачи по курсу "Высшая алгебра"; умение решать такие задачи обязательно для получения удовлетворительной оценки на коллоквиуме и экзамене. Настоящее пособие не содержит краткого изложения основных понятий и формул, необходимых при решении задач (эти
сведения содержатся, например, в [1], [2]). Частично, впрочем, такая информация приведена в решениях задач. В решениях задач некоторые элементарные выкладки опущены (если подобные рассуждения ранее встречались в других решениях). В задачах на собственные значения и собственные векторы матрицы рассматриваются как операторы умножения слева в пространстве столбцов над полем C.Содержание: Программа весеннего коллоквиума
Системы линейных алгебраических уравнений
(повторение)
Общие свойства систем линейных алгебраических уравнений.
Матричная запись систем линейных алгебраических уравнений.
Критерий существования нетривиального решения одно-
родной системы.
Структура общего решения однородной системы. Фундаментальная система решений однородной системы.
Теорема Кронекера-Капелли. Критерий существования решения неоднородной системы при любой правой части.
Структура общего решения неоднородной системы.
Альтернатива Фредгольма для систем с квадратной матрицей.
Конечномерные линейные пространства
Определение линейного пространства. Примеры.
Линейная зависимость и независимость системы векторов.
Конечномерные пространства. Базисы. Координаты вектора.
Размерность конечномерного пространства.
Изоморфизм конечномерных пространств.
Подпространство: определение, примеры.
Линейная оболочка системы векторов.
Пересечение и линейная сумма подпространств.
Размерность подпространства. Теорема о размерности линейной суммы подпространств.
Прямая сумма подпространств.
Прямое дополнение подпространства.
Подпространство решений однородной системы линейных уравнений.